二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法.doc
中小学1对1课外辅导专家 知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况:两个公共点(即有两个交点),一个公共点,没有公共点,因此有: (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1,0)(x2,0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时,此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根, (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 2.二次函数解析式求法 新课讲解 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线与轴有个交点,因为其判别式0,相应二次方程的根的情况为. 2、函数(是常数)的图像与轴的交点个数为() A.0个B.1个C.2个D.1个或2个 3、关于二次函数的图像有下列命题:①当时,函数的图像经过原点;②当,且函数的图像开口向下时,方程必有两个不相等的实根;③函数图像最高点的纵坐标是;④当时,函数的图像关于轴对称. 其中正确命题的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 4、已知函数. (1)求证:不论为何实数,此二次函数的图像与轴都有两个不同交点; (2)若函数有最小值,求函数表达式. 例2 二次函数解析式 1.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A(,0),B(,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。 2.已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。 3. 已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 4.抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 5. 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6.抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。 1、 2、 3、 4、 5、 7.抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求抛物线的解 析式。 8.已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点,求抛物线的解析式。 1、 2、 3、 4、 9.已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。 10.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 11.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点,求抛物线的解析式。 课堂练习 1.下列命题:①若,则; ②若,则一元二次方程有两个不相等的实数根; ③若,则一元二次方程有两个不相等的实数根; ④若,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是( ). A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有①④ D.只有② 2.在直角坐标平面中,O为坐标原点,二次函数的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且. (1)求点A与点B的坐标;(2)求此二次函数的解析式; (3)如果点P在x轴上,且△ABP是等腰三角形,求点P的坐标. 课堂总结 作业布置 1.不论x为何值,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件( )。 A.a>0,b2-4ac<0 B .a>0,b2-4ac>0 C. a<0,b2-4ac<0 D. a<0,b2-4ac>0 2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )。 3.已知二次函数y=-x2+(3-k)x+2k-1的图像与y轴的交点位于(0,1)的上方,则k的取值范围( )。 6.已知二次函数的图象与轴交于点、,且,与轴的正半轴的交点在的下方.下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是 个. 4. y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是( )。 A.a=5B.a≥5C.a=3D.a≥3 5.已知抛物线y=ax2+bx+c,经过A(4,-2),B(12,-2)两点,那么它的对称轴是( ) A.直线x=7B.直线x=8C.直线x=9D.无法确定 6.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),与y轴的交点坐标为(0,3). (1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. 7.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标是(﹣2,0),点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OC<OB)是方程x2﹣10x+24=0的两个根. (1)求B、C两点的坐标; (2)求这个二次函数的解析式. 8.下图是二次函数的图像,与轴交于,两点,与轴交于点. (1)根据图像确定,,的符号,并说明理由; A C O B (2)如果点的坐标为,,,求这个二次函数的函数表达式. 6