二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法.doc

中小学1对1课外辅导专家 知识梳理 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。 (2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根， (3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。 2.二次函数解析式求法 新课讲解 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为． 2、函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（） A．0个B．1个C．2个D．1个或2个 3、关于二次函数的图像有下列命题：①当时，函数的图像经过原点；②当，且函数的图像开口向下时，方程必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是；④当时，函数的图像关于轴对称． 其中正确命题的个数是（） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个 4、已知函数． （1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点； （2）若函数有最小值，求函数表达式． 例2 二次函数解析式 1.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（，0），B（，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2.已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 3. 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 4.抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 5. 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6.抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 1、 2、 3、 4、 5、 7.抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解 析式。 8.已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 1、 2、 3、 4、 9.已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。 10.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 11.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 课堂练习 1.下列命题：①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）． A.只有①②③ B．只有①③④ C．只有①④ D．只有② 2.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且． （1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式； （3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标． 课堂总结 作业布置 1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（ ）。 A.a＞0，b2-4ac＜0 B .a＞0，b2-4ac＞0 C. a＜0，b2-4ac＜0 D. a＜0，b2-4ac＞0 2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x1=1，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）。 3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的上方，则k的取值范围（ ）。 6．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个． 4. y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。 A．a=5B．a≥5C．a＝3D．a≥3 5.已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（ ） A.直线x=7B.直线x=8C.直线x=9D.无法确定 6.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 7.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣2，0），点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OC＜OB）是方程x2﹣10x+24=0的两个根． （1）求B、C两点的坐标； （2）求这个二次函数的解析式． 8.下图是二次函数的图像，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）根据图像确定，，的符号，并说明理由； Ａ Ｃ Ｏ Ｂ （2）如果点的坐标为，，，求这个二次函数的函数表达式． 6